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Henle, J.M. y Kleinberg, E: infinitesimal Calculus. M.I.T. Press, 1979.

La evolución de los libros de cálculo es un reflejo de la evolución de las matemáticas. Los primeros libros mostraban el espíritu del cálculo en la época en que surgió. Estaban llenos de aplicaciones, de entusiasmo, optimismo y eran un tanto ingenuos [1]. El origen físico y geométrico de los problemas daba una clara intuición sobre ellos. Y utilizando el cálculo se llegaba a resultados correctos. Esto justificaba los procedimientos usados. A medida que se fueron dando definiciones más generales de función y de continuidad, se empezó a sentir la necesidad de rigorizar y precisar las propiedades de los números y los conceptos que se utilizaban. Weierstrass dio una formulación precisa del concepto de límite utilizando únicamente números reales. En cambio los infinitesimales quedaron sin una presentación rigurosa. A pesar de esta falta de fundamentación durante muchos años sobrevivieron, especialmente en libros de física y de ingeniería, «como una manera de hablar» y como una simplificación que abreviaba los razonamientos hacía más rápidos los cálculos y que permitía obtener las fórmulas de manera más sencilla. Sin embargo en muchos libros se prescindió completamente de los números infinitamente pequeños. Así tenemos que el cálculo se enseña con el enfoque ð- «un enfoque que aunque totalmente preciso y riguroso resulta un desastre para los alumnos aprenderlo y para los maestros enseñarlo» (pág. VIII). El enfoque ð- resulta un rodeo tremendamente complicado y sólo varios años de formación matemática hacen que llegue a parecer natural. Cargar con el pasado equipaje ð- hace que en un curso todo el esfuerzo se emplee en entender los conceptos y ya no quede tiempo para manejar y aplicar las derivadas e integrales con soltura. Podemos comparar la definición ð- de continuidad que aparece en los libros con la sencillez de la definición de continuidad usando números infinitamente pequeños: una función f es continua en x si para toda h infinitamente pequeña f (x + h) está infinitamente cerca de f (x).

La cantidad de libros de cálculo que aparecen cada año es en parte reflejo de cambios que se intentan en la enseñanza motivados por una profunda insatisfacción por los resultados alcanzados.

A diferencia de estos cambios, a partir de 1960 ocurre uno que es producto de una visión del cálculo. En ese año Abraham Robinson da una fundamentación rigurosa de los números infinitamente pequeños. Este es un caso en el que investigaciones avanzadas influyen en conceptos elementales, como la extensión del concepto del número. Poco a poco se ha ido simplificando la presentación de un sistema extendido de números que incluya números infinitamente grandes e infinitamente pequeños. Actualmente ya es posible dar un primer curso de cálculo con este enfoque. El libro que se reseña es un ejemplo de ello.

Tal vez la forma más sencilla de presentar un sistema extendido de R (los números reales), sea mediante clases de equivalencia de sucesiones de números reales. Dos sucesiones son equivalentes si sus términos correspondientes son iguales casi siempre; esto es, módulo un ultrafiltro [5]. Sin embargo, no es necesario construir los infinitesimales para poder trabajar con ellos, del mismo modo que no hay por qué construir los reales antes de un curso de cálculo. Basta presentar la recta numérica enriquecida, con ayuda de un «microscopio»; tener idea de las mónadas, es decir, los puntos que están infinitamente cerca de cada número real; con un «telescopio» conocer las distintas galaxias (3). Después, hay que saber cómo manejar los reales extendidos. Para utilizar muchas propiedades basta el hecho de que el sistema *R es un campo ordenado que contiene propiamente a R. Es necesario además saber cómo traducir proposiciones en R a proposiciones en *R. Se necesita un principio de transferencia para poder aplicar los resultados conocidos para las funciones y relaciones en R a las funciones y relaciones extendidas a *R, y a la inversa, aprovechar los resultados que se obtienen de manera fácil para *R y usarlos en R. La mejor forma de hacerlo es usando una versión restringida y pausible de ese principio de transferencia, como lo hace Keisler [3], y no a través de la lógica formal, lo cual puede resultar difícil para alumnos que principian. A pesar de esto, el presente libro resulta de una gran claridad y permite darse cuenta de cuáles son las ideas centrales y cómo se utiliza el principio de transferencia. Otra ventaja es el tamaño del libro: su concisión facilita el estudio y permite tener una visión panorámica en pocas paginas. Además, realmente da gusto leer y estudiar un libro que ha sido elaborado con dedicación y cariño. Un libro en el que se ha buscado la claridad en las demostraciones (por ejemplo la

n

obtención geométrica de la fórmula ði=1 n(n+1) En el que se

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han escogido ejercicios que iluminan y aclaran la teoría y no son meramente rutinarios. En que los ejemplos y las notas al margen, los comentarios históricos y biográficos y las citas hacen más rica la presentación. Tal es el caso de este libro. 

Un libro es siempre un pretexto para pensar y el principio de una serie de nuevos estudios. Desgraciadamente, este libro no tiene bibliografía, no indica hacia dónde se puede continuar, ni tampoco da las referencias de los datos históricos ni dice de dónde sacó las citas. De algunos temas poco conocidos, por ejemplo los fracimales no aclara en qué contexto surgen, ni que relación tienen dentro de las matemáticas. Este tipo de fallas así como los escasos errores, casi todos de imprenta, se podrían corregir en una segunda edición. Hay otro aspecto que no será tan fácil corregir. La mayor falla del libro es que se han omitido por completo las aplicaciones. Aprender el cálculo sin conocer las ideas que le dieron origen «es como aprender a mezclar colores sin ver nunca un Rembrandt» [4]. Esto impone serias limitaciones a la utilidad del libro para quienes quieran utilizar el poder del cálculo. Con otro, el balance es ampliamente positivo, las cualidades del libro hacen que se recomiende a todos los que quieran conocer la elegancia y el poder del análisis no habitual (por ejemplo una demostración en dos renglones de que una función continua en un compacto es uniformemente continua) y sobre todo a aquellos que quieran convencerse de que es posible dar un curso de cálculo y tener el gusto de usar rigurosamente los infinitesimales.

 Referencias:

(1). Boyer. Carl B. 1946. «The first calculus textbooks. Mathematics Teacher (abril 1946) (también en Grindstein ú Michaels 1977).

(2). Grindstein, L.S., Michaels. B. 1977. Calculus, readings from the Mathematics Teacher. National Council of Teachers of Mathematics. 

(3). Keisl