El fracaso de la matemática moderna.

(Traducción de Santiago Garma) Madrid Siglo XXI de España Editores, 1976.

“Los adultos no recordaban casi nada de las matemáticas que habían aprendido y no sabían efectuar operaciones sencillas con fracciones. De hecho, no vacilaban en decir que no habían sacado nada en limpio de sus cursos de matemáticas”. Así describe Morris Kline la situación prevaleciente en los Estados Unidos en los años cincuenta por lo que hace el aprendizaje de las matemáticas. El desagrado que producía la enseñanza tradicional estaba bien fundado. Kline enumera los defectos de los planes tradicionales de enseñanza elemental y media: a) La falta de motivación. Porque aunque es fácil encontrar en la vida cotidiana situaciones para aplicar aritmético, las aplicaciones del álgebra, la trigonometría, etc. son poco frecuentes. “Los profanos no tienen nunca ocasión de usar estos conocimientos o menos que lleguen a ser científicos matemáticos o ingenieros”: la frialdad y la obstrucción de las matemáticas atraen poco o los estudiantes. b) El lenguaje empleado en los matemáticos hace aún más difícil y tedioso su estudio. “La brevedad en la exposición de la matemática -sentencia Kline- es la esencia de la estupidez y la obscuridad”. c) La poca aplicabilidad inmediata de la materia se ve completada con otro defecto: el uso de ejercicios con problemas a todas luces artificiales, que contribuyen a volver memorístico el aprendizaje. d) Hay también situaciones contradictorias en la enseñanza, derivadas del desarrollo histórico de la disciplina. Así por ejemplo, la geometría de secundaria es presentada como un cuerpo de axiomas o verdades evidentes, a partir de las cuales se deducen teoremas como Los ángulos interiores de un triángulo suman ciento ochenta grados. Pero el álgebra no se impartía de manera deductiva sino como un conjunto desarticulado de técnicas para resolver ciertos tipos de ecuaciones.

El consenso que privaba en los cincuenta sobre los defectos de la enseñanza matemática, dio lugar a una vigorosa reforma de los planes de estudio en los niveles elemental y medio. Sin pruebas concluyentes y con la sola eficacia del marketing, se pusieron en práctica nuevos planes que aunque conservaron mucho de la exposición tradicional destacaban en los textos el carácter “moderno” de sus procedimientos. Si los alumnos practicaban las matemáticas maquinalmente y memorizando procedimientosm, con la nueva exposición “comprenderían” las matemáticas a partir de la interpretación lógica. El nuevo plan de interpretación deductiva se hizo extensiva a la aritmética y al álgebra y se incorporaron como novedades ciertas dosis de pensamiento deductivo. Por ejemplo en la multiplicación.

47 x 16 = 47 x (10+6) = 470 + 282 – 752(1)

la presentación difiere de la tradicional porque ahora el alumno aplica el axioma distributivo(2) en lugar de una regla “incomprensible”. El axioma en cambio no exige comprensión… es como es.

En la formulación lógica de la matemática se busca el aprendizaje por el camino opuesto al seguido en la producción del conocimiento. Kline, haciendo alarde de erudición histórica, nos explica cómo, aún en las matemáticas, la formulación axiomática ha operado sobre descubrimientos previos. Tampoco el trabajo del matemático está exento de tanteos, imprecisiones e intuiciones vagas. “Newton escribió tres importantes artículos sobre cálculo infinitesimal y publicó tres ediciones de su obra maestra Los principios matemáticos de la filosofía natural. En cada uno de estos textos dió una explicación diferente del concepto básico que llamamos derivada. Actualmente ningún principiante en el cálculo infinitesimal aceptaría ninguna de ellas”. Kline agrega: “La lógica no dicta cuáles son los contenidos de la matemática; el uso es lo que determina la estructura lógica. La estructura lógica aparece a posteriori y en cierto sentido es tan sólo un adorno”.

Pero la enseñanza actual no sólo busca la formulación axiomática, insiste también en el rigor. Este inocente vocablo que en el habla común significa severidad y dureza, en matemáticas adquiere el carácter de una compulsión: las demostraciones deben-ser-completas y no recurrir a imprecisiones, lo cual significa volver imprescindibles una multitud de axiomas que una mente ingenua consideraría como un breviario para imbéciles: los afortunados educados deben tener presente que la recta que une dos puntos es única, que la distancia entre dos puntos es única, que existe y es único el número que sumado a otro cero etc. Si se procede con absoluto rigor, en muchos temas de matemáticas habrá que demostrar una serie de teoremas intuitivamente evidentes, para después convencer a los estudiante de que las matemáticas no sólo se ocupan de pactar lo obvio. Además, las matemáticas han encontrado contradicciones en la teoría de conjuntos. Esta teoría, que juega un papel unificador en las matemáticas superiores, se enfrenta hoy a tales dificultades lógicas que “no existe acuerdo sobre qué es una demostración matemática correcta y es casi seguro que una interpretación axiomática de cualquier rama de las matemática resulte inadecuada”.

Kline señala que los problemas de los nuevos planes se originan en que conservan los errores de los planes tradicionales y agregan otros nuevos. También señala que los nuevos planes se pusieron en práctica apresuradamente sin pruebas concluyentes. La más importante sin embargo es que a diferencia de las matemáticas de hasta hace cien años los actuales “no conocen la ciencia, y más aún: no están ya preocupados por la utilización de los conocimientos matemáticos”.

Por último Kline propone las líneas generales de lo que sería una reforma eficaz a los planes de enseñanza elemental y media. Los nuevos planes deben considerar que los alumnos de esos niveles usaron poco las matemáticas y sólo unos cuantos llegarán a ser profesionistas usuarios de las matemáticas. Hay, dice Kline, conocimientos más importantes que las matemáticas para el desarrollo integral del ser humano y por ello la educación elemental y media en matemáticas debiera ser más extensa que profunda. Si se procediera de este modo, quizás fuera suficiente para el nivel primario una sólida educación aritmética que destaque sus usos reales. Además, el aprendizaje debiera ser para los estudiantes semejante al proceso de un descubrimiento científico. Lo ideal sería que ante la necesidad de resolver cierto problema, el alumno intentara resolverlo matemáticamente, porque la motivación natural para el estudio de las matemáticas no puede ser sino el estudio de los problemas del mundo real. Pero una vez motivados los estudiantes debe enseñárseles la forma de razonar mediante analogías, a usar la intuición, a proceder de lo particular a lo general y de lo simple a lo complejo.

Los errores que Kline señala parecen inscribirse en la lucha contra una tendencia generalizada a la revivir la escolaridad medieval. Su crítica debiera ser tomada en cuenta por las escuelas y personas progresistas de México, pues basta un examen a los libros de texto de primaria para ver coincidencias notables con los errores del sistema educativo norteamericano. Por ejemplo una edición del libro de primer año para primaria trae ya una sección de lógica. En ello se intenta hacer uso consciente de la regla aristotélica del tercero excluido, a pesar de que, ahí mismo se reconoce que es una forma espontánea de razonamiento.

Alejandro Valle Baeza

Notas

1. Este ejemplo es idéntico a otro que da Kline y apareció en el texto oficial de tercer grado, editado por la S.E.P. en 1972, p. 123.

2. “En general, podemos enunciar la propiedad distributiva como sigue: Si p,a,b,c,… son números enteros entonces …p x (a+b+c+…) = (pxa)+(pxb)+(pxc)+…”Secretaría de Educación Pública. Matemáticas, quinto grado. México, 1972, página 118.